18. Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке М, лежащей на стороне BC. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если AB = 6.

Решение:

Пусть AM — биссектриса угла A, а DM — биссектриса угла D. Точка M лежит на стороне BC.

Свойства биссектрис в параллелограмме:

1. Биссектриса угла параллелограмма делит противоположную сторону на отрезки.
2. Точка пересечения биссектрис углов A и D лежит на стороне BC.

Рассмотрим треугольник ABM:

• Угол BAM = Угол MAD (AM — биссектриса).
• Угол AMD = Угол MAD (как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей AM).
• Следовательно, Угол BAM = Угол AMD.
• Это означает, что треугольник ABM — равнобедренный, и AB = BM.

Рассмотрим треугольник DCM:

• Угол CDM = Угол MDA (DM — биссектриса).
• Угол DMC = Угол MDA (как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей DM).
• Следовательно, Угол CDM = Угол DMC.
• Это означает, что треугольник DCM — равнобедренный, и DC = CM.

Свойства параллелограмма:

• Противоположные стороны равны: $$AB = DC$$ и $$AD = BC$$.

Связь сторон:

• Мы знаем, что $$AB = 6$$, значит $$DC = 6$$.
• Так как ABM — равнобедренный, $$BM = AB = 6$$.
• Так как DCM — равнобедренный, $$CM = DC = 6$$.
• Сторона BC = BM + CM = $$6 + 6 = 12$$.
• Поскольку ABCD — параллелограмм, $$AD = BC = 12$$.

Периметр параллелограмма ABCD:

Периметр $$P = 2(AB + BC) = 2(6 + 12) = 2(18) = 36$$.

Ответ: Периметр параллелограмма ABCD равен 36.