15. Неравенство. Решите неравенство методом интервалов:

Решение:

Решим неравенство \( \frac{x^2-9}{x-2} \le 0 \) методом интервалов.

1. Найдем значения \( x \), при которых числитель равен нулю: \( x^2 - 9 = 0 \) \( x^2 = 9 \) \( x = \pm 3 \).
2. Найдем значения \( x \), при которых знаменатель равен нулю (эти значения не входят в область определения): \( x - 2 = 0 \) \( x = 2 \).
3. Отметим найденные точки \( -3, 2, 3 \) на числовой оси. Они разбивают ось на четыре интервала: \( (-\infty; -3], [-3; 2), (2; 3], [3; +\infty) \). Точка \( x=2 \) — выколотая, \( x=-3 \) и \( x=3 \) — закрашенные, так как неравенство нестрогое \( \le \).
4. Определим знак выражения \( \frac{x^2-9}{x-2} \) в каждом интервале:
   • Интервал \( (-\infty; -3] \): Возьмем \( x = -4 \). \( \frac{(-4)^2-9}{-4-2} = \frac{16-9}{-6} = \frac{7}{-6} < 0 \).
   • Интервал \( [-3; 2) \): Возьмем \( x = 0 \). \( \frac{0^2-9}{0-2} = \frac{-9}{-2} = 4.5 > 0 \).
   • Интервал \( (2; 3] \): Возьмем \( x = 2.5 \). \( \frac{(2.5)^2-9}{2.5-2} = \frac{6.25-9}{0.5} = \frac{-2.75}{0.5} < 0 \).
   • Интервал \( [3; +\infty) \): Возьмем \( x = 4 \). \( \frac{4^2-9}{4-2} = \frac{16-9}{2} = \frac{7}{2} > 0 \).
5. Так как неравенство \( \le 0 \), нам подходят интервалы, где выражение отрицательное.

Ответ: \( [ -3; 2 ) \cup [ 3; +\infty ) \).