24. В окружности через середину О хорды АС проведена хорда BD так, что дуги АВ и СD равны. Докажите, что О — середина хорды BD.

1. Так как дуги АВ и CD равны, то и соответствующие им хорды равны: AB = CD.

2. Так как О — середина хорды AC, то AO = OC. Также, так как BD проходит через центр О, BD является диаметром.

3. В равнобедренной трапеции ABCD (AB=CD, AC=BD - диагонали) высота, проведенная из вершины B к основанию AD, будет проходить через середину основания AD. В данном случае, так как BD - диаметр, и дуги AB и CD равны, то хорда BD перпендикулярна хорде AC. Так как О - середина AC, и BD проходит через О, то О - середина BD.