16 Хорда CD перпендикулярна диаметру AB окружности. Найдите угол CBD, если угол CAB равен 29°. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Построим чертёж.

Так как \( AB \) — диаметр, то угол \( ACB \) — вписанный угол, опирающийся на диаметр, следовательно \( \angle ACB = 90^{\circ} \).

В треугольнике \( ABC \): \( \angle ACB = 90^{\circ} \), \( \angle CAB = 29^{\circ} \).

Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \), поэтому \( \angle CBA = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 29^{\circ} = 61^{\circ} \).

Хорда \( CD \) перпендикулярна диаметру \( AB \). Диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам. Также он делит дугу, на которую опирается хорда, пополам. Дуга \( CB \) и дуга \( DB \) равны.

Угол \( CAB \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( CB \). Следовательно, градусная мера дуги \( CB \) равна \( 2 \cdot \angle CAB = 2 \cdot 29^{\circ} = 58^{\circ} \).

Угол \( CDB \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( CB \). Значит, \( \angle CDB = \frac{1}{2} \text{ дуги } CB = \frac{1}{2} \cdot 58^{\circ} = 29^{\circ} \).

Угол \( CBD \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( CD \). Так как \( AB \perp CD \), то дуга \( AC \) равна дуге \( AD \). Также дуга \( CB \) равна дуге \( DB \).

Рассмотрим треугольник \( ODC \), где \( O \) — центр окружности. \( OC = OD = R \) (радиусы). \( \angle COD \) — центральный угол, опирающийся на дугу \( CD \).

Так как \( AB \perp CD \), то \( \angle COA = \angle DOA \) и \( \angle COB = \angle DOB \).

Дуга \( CB = 58^{\circ} \). Дуга \( DB = 58^{\circ} \).

Угол \( CBD \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( CD \).

В треугольнике \( ABC \) \( \angle CBA = 61^{\circ} \). Угол \( CBD \) является частью угла \( CBA \).

Рассмотрим треугольник \( OCB \). \( OC = OB = R \). \( \angle COB \) — центральный угол, опирающийся на дугу \( CB \), равную \( 58^{\circ} \). Следовательно, \( \angle COB = 58^{\circ} \).

Так как \( \triangle OCB \) — равнобедренный, то \( \angle OCB = \angle OBC = \frac{180^{\circ} - 58^{\circ}}{2} = \frac{122^{\circ}}{2} = 61^{\circ} \).

Таким образом, \( \angle CBD = \angle OBC = 61^{\circ} \).

Ответ: 61 градус.