17. (2 балла) Решите систему уравнений {y-x=7, {3^(y-1)}*3^(x-1) = 27.

Решение:

Дана система уравнений:

1) $$y - x = 7$$

2) $$3^{y-1}  3^{x-1} = 27$$

Шаг 1: Упростим второе уравнение.

Используем свойство степеней $$a^m  a^n = a^{m+n}$$:

$$3^{(y-1) + (x-1)} = 27$$.

$$3^{y+x-2} = 27$$.

Представим 27 как степень тройки: $$27 = 3^3$$.

$$3^{y+x-2} = 3^3$$.

Так как основания равны, можем приравнять показатели степеней:

$$y + x - 2 = 3$$.

$$y + x = 5$$.

Теперь система выглядит так:

1) $$y - x = 7$$

3) $$y + x = 5$$

Шаг 2: Решим полученную систему методом сложения.

Сложим уравнения (1) и (3):

$$(y - x) + (y + x) = 7 + 5$$.

$$2y = 12$$.

$$y = 6$$.

Шаг 3: Найдем значение x.

Подставим $$y = 6$$ в любое из уравнений, например, в (1):

$$6 - x = 7$$.

$$-x = 7 - 6$$.

$$-x = 1$$.

$$x = -1$$.

Шаг 4: Проверка.

Подставим $$x = -1$$ и $$y = 6$$ в исходные уравнения:

1) $$6 - (-1) = 6 + 1 = 7$$ (Верно)

2) $$3^{6-1}  3^{-1-1} = 3^5  3^{-2} = 3^{5-2} = 3^3 = 27$$ (Верно)

Ответ: $$x = -1$$, $$y = 6$$