20. (3 балла) Найдите все значения а, при которых число х = 2 является корнем уравнения 1/x + 2a|x+1-a=0.

Решение:

По условию, $$x=2$$ является корнем уравнения $$ \frac{1}{x} + 2a|x+1-a = 0$$.

Подставим $$x=2$$ в уравнение:

$$\\frac{1}{2} + 2a|2+1-a = 0$$.

$$\\frac{1}{2} + 2a|3-a = 0$$.

Теперь нам нужно рассмотреть два случая, так как у нас есть модуль $$ |3-a|$$.

Случай 1: $$3 - a > 0$$, то есть $$a < 3$$.

В этом случае $$|3-a| = 3-a$$. Уравнение примет вид:

$$\\frac{1}{2} + 2a(3-a) = 0$$.

$$\\frac{1}{2} + 6a - 2a^2 = 0$$.

Умножим все на 2, чтобы избавиться от дроби:

$$1 + 12a - 4a^2 = 0$$.

Перепишем в стандартном виде квадратного уравнения:

$$4a^2 - 12a - 1 = 0$$.

Найдем корни этого квадратного уравнения:

$$D = (-12)^2 - 4(4)(-1) = 144 + 16 = 160$$.

$$a = \frac{12 \pm \sqrt{160}}{2 \times 4} = \frac{12 \pm 4\sqrt{10}}{8} = \frac{3 \pm \sqrt{10}}{2}$$.

Получили два значения $$a$$: $$a_1 = \frac{3 + \sqrt{10}}{2}$$ и $$a_2 = \frac{3 - \sqrt{10}}{2}$$.

Теперь проверим, выполняются ли условия $$a < 3$$ для этих значений:

• $$\\sqrt{10}$$ примерно равно $$3.16$$.
• $$a_1 = \frac{3 + 3.16}{2} = \frac{6.16}{2} = 3.08$$. Это значение $$a_1 > 3$$, значит, оно не подходит для данного случая.
• $$a_2 = \frac{3 - 3.16}{2} = \frac{-0.16}{2} = -0.08$$. Это значение $$a_2 < 3$$, значит, оно подходит.

Случай 2: $$3 - a \le 0$$, то есть $$a \ge 3$$.

В этом случае $$|3-a| = -(3-a) = a-3$$. Уравнение примет вид:

$$\\frac{1}{2} + 2a(a-3) = 0$$.

$$\\frac{1}{2} + 2a^2 - 6a = 0$$.

Умножим все на 2:

$$1 + 4a^2 - 12a = 0$$.

Перепишем в стандартном виде:

$$4a^2 - 12a + 1 = 0$$.

Найдем корни этого квадратного уравнения:

$$D = (-12)^2 - 4(4)(1) = 144 - 16 = 128$$.

$$a = \frac{12 \pm \sqrt{128}}{2 \times 4} = \frac{12 \pm 8\sqrt{2}}{8} = \frac{3 \pm 2\sqrt{2}}{2}$$.

Получили два значения $$a$$: $$a_3 = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{2}$$ и $$a_4 = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{2}$$.

Теперь проверим, выполняются ли условия $$a \ge 3$$ для этих значений:

• $$2\sqrt{2}$$ примерно равно $$2.828$$.
• $$a_3 = \frac{3 + 2.828}{2} = \frac{5.828}{2} = 2.914$$. Это значение $$a_3 < 3$$, значит, оно не подходит для данного случая.
• $$a_4 = \frac{3 - 2.828}{2} = \frac{0.172}{2} = 0.086$$. Это значение $$a_4 < 3$$, значит, оно не подходит для данного случая.

Итого:

Из рассмотренных случаев, только $$a_2 = \frac{3 - \sqrt{10}}{2}$$ удовлетворяет условию $$a < 3$$.

Ответ: $$a = \frac{3 - \sqrt{10}}{2}$$