17. Хорда, перпендикулярная радиусу и проходящая через его середину, равна стороне правильного вписанного треугольника. Докажите.

Решение:

Пусть дана окружность с центром O и радиусом R. Проведем радиус OM. Хорда AB перпендикулярна OM и делит его пополам в точке K. Треугольник AOB — равнобедренный. Угол AOK = 90 градусов. Если K — середина OM, то AK = KB. Рассмотрим треугольник AOB. Если K — середина OM, то AK = KB. Если угол KOB = 30 градусов, то AB = 2 * OB * sin(30) = 2 * R * 1/2 = R. Если K — середина OM, то AK = KB.

Доказательство:

1. Пусть дан правильный треугольник ABC, вписанный в окружность с центром O и радиусом R.
2. Проведем радиус OA. Пусть M — середина стороны BC. Тогда OM перпендикулярна BC.
3. Треугольник OBC — равнобедренный. Угол BOC = 360°/3 = 120°.
4. В треугольнике OKB (где K — середина BC), угол OKB = 90°, угол KOB = 120°/2 = 60°.
5. Тогда BK = OB * sin(60°) = R * \(\sqrt{3}/2\).
6. Следовательно, сторона BC = 2 * BK = 2 * R * \(\sqrt{3}/2\) = R\(\sqrt{3}\).
7. Теперь рассмотрим хорду BC. Перпендикуляр, опущенный из центра O на хорду BC, делит ее пополам. Точка пересечения — середина хорды.
8. Пусть эта хорда перпендикулярна радиусу OP и проходит через середину радиуса OP, т.е. через точку K, такую что OK = KP.
9. В треугольнике OBK, OB = R. Угол OKB = 90°. OK = R/2.
10. По теореме Пифагора: \( BK^2 = OB^2 - OK^2 = R^2 - (R/2)^2 = R^2 - R^2/4 = 3R^2/4 \).
11. \( BK = \sqrt{3R^2/4} = R\(\sqrt{3}/2\) \).
12. Хорда AB = 2 * BK = 2 * R\(\sqrt{3}/2\) = R\(\sqrt{3}\).
13. Таким образом, хорда, перпендикулярная радиусу и проходящая через его середину, равна стороне правильного вписанного треугольника.