19. Сторона правильного вписанного в окружность квадрата равна а. Найдите сторону квадрата, вписанного в эту окружность.

Решение:

Пусть R — радиус окружности.

1. Сторона правильного вписанного в окружность квадрата равна a. Диагональ этого квадрата является диаметром окружности, т.е. \( d = 2R \).
2. По теореме Пифагора для квадрата со стороной a: \( d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \).
3. Следовательно, \( (2R)^2 = 2a^2 \), или \( 4R^2 = 2a^2 \).
4. Отсюда \( R^2 = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2} \), и \( R = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \).
5. Теперь рассмотрим квадрат, вписанный в эту же окружность. Пусть его сторона равна b.
6. Диагональ этого квадрата также равна диаметру окружности, т.е. \( d = 2R \).
7. По теореме Пифагора для квадрата со стороной b: \( d^2 = b^2 + b^2 = 2b^2 \).
8. Подставим значение \( d = 2R \): \( (2R)^2 = 2b^2 \), или \( 4R^2 = 2b^2 \).
9. Мы знаем, что \( 4R^2 = 2a^2 \) из предыдущего шага.
10. Приравнивая, получаем: \( 2a^2 = 2b^2 \).
11. Следовательно, \( a^2 = b^2 \), и \( a = b \) (так как стороны положительны).

Ответ: Сторона квадрата, вписанного в эту окружность, равна a.