25. Найдите стороны правильного пятиугольника и правильного 10-угольника, вписанных в окружность радиуса R.

Решение:

1. Сторона правильного пятиугольника (a₅)

1. Центральный угол, соответствующий одной стороне правильного пятиугольника, равен \( \alpha_5 = 360°/5 = 72° \).
2. Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный двумя радиусами (R) и стороной пятиугольника (a₅).
3. По теореме косинусов: \( a_5^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(72°) \).
4. \( a_5^2 = 2R^2 - 2R^2 \cdot \cos(72°) = 2R^2(1 - \cos(72°)) \).
5. Значение \( \cos(72°) = \frac{\sqrt{5}-1}{4} \).
6. \( a_5^2 = 2R^2 \left( 1 - \frac{\sqrt{5}-1}{4} \right) = 2R^2 \left( \frac{4 - \sqrt{5} + 1}{4} \right) = 2R^2 \left( \frac{5 - \sqrt{5}}{4} \right) = R^2 \left( \frac{5 - \sqrt{5}}{2} \right) \).
7. \( a_5 = \sqrt{R^2 \left( \frac{5 - \sqrt{5}}{2} \right)} = R\sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{2}} \).

2. Сторона правильного 10-угольника (a₁₀)

1. Центральный угол, соответствующий одной стороне правильного 10-угольника, равен \( \alpha_{10} = 360°/10 = 36° \).
2. По теореме косинусов: \( a_{10}^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(36°) \).
3. \( a_{10}^2 = 2R^2 - 2R^2 \cdot \cos(36°) = 2R^2(1 - \cos(36°)) \).
4. Значение \( \cos(36°) = \frac{\sqrt{5}+1}{4} \).
5. \( a_{10}^2 = 2R^2 \left( 1 - \frac{\sqrt{5}+1}{4} \right) = 2R^2 \left( \frac{4 - \sqrt{5} - 1}{4} \right) = 2R^2 \left( \frac{3 - \sqrt{5}}{4} \right) = R^2 \left( \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \right) \).
6. \( a_{10} = \sqrt{R^2 \left( \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \right)} = R\sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}} \).

Ответ: Сторона правильного пятиугольника равна \( R\sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{2}} \), сторона правильного 10-угольника равна \( R\sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}} \).