27. Сторона правильного многоугольника равна а, а радиус вписанной окружности r. Найдите радиус описанной окружности.

Решение:

Пусть n — число сторон многоугольника.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом вписанной окружности (r), половиной стороны многоугольника (a/2) и радиусом описанной окружности (R).
2. Угол между радиусом вписанной окружности (r) и радиусом описанной окружности (R) равен половине центрального угла, т.е. \( \frac{180°}{n} \).
3. В этом прямоугольном треугольнике:
4. \( \text{tg}(\frac{180°}{n}) = \frac{a/2}{r} \).
5. Отсюда \( \frac{a}{2} = r \cdot \text{tg}(\frac{180°}{n}) \).
6. \( a = 2r \cdot \text{tg}(\frac{180°}{n}) \).
7. Также в этом треугольнике:
8. \( \cos(\frac{180°}{n}) = \frac{r}{R} \).
9. Выразим R: \( R = \frac{r}{\cos(\frac{180°}{n})} \).

Ответ: Радиус описанной окружности равен \( R = \frac{r}{\cos(\frac{180°}{n})} \), где n — число сторон многоугольника.