23. Докажите, что сторона правильного восьмиугольника вычисляется по формуле a₈ = R√2-√2, где R — радиус описанной окружности.

Решение:

1. Рассмотрим правильный восьмиугольник, вписанный в окружность с центром O и радиусом R.
2. Сторона правильного восьмиугольника (a₈) является хордой, которая стягивает дугу, равную 1/8 части окружности.
3. Центральный угол, соответствующий одной стороне восьмиугольника, равен \( \alpha = 360°/8 = 45° \).
4. Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный двумя радиусами (R) и стороной восьмиугольника (a₈).
5. По теореме косинусов для этого треугольника: \( a_8^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(45°) \).
6. \( a_8^2 = 2R^2 - 2R^2 \cdot \cos(45°) \).
7. Известно, что \( \cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
8. \( a_8^2 = 2R^2 - 2R^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \).
9. \( a_8^2 = 2R^2 - R^2\sqrt{2} = R^2(2 - \sqrt{2}) \).
10. Извлекаем квадратный корень из обеих частей: \( a_8 = \sqrt{R^2(2 - \sqrt{2})} = R\sqrt{2 - \sqrt{2}} \).
11. В условии задачи указана формула \( a_8 = R\sqrt{2 - \sqrt{2}} \), которая была нами получена.

Доказано.