24. Докажите, что сторона правильного 12-угольника вычисляется по формуле a₁₂ = R√2-√3, где R — радиус описанной окружности.

Решение:

1. Рассмотрим правильный двенадцатиугольник, вписанный в окружность с центром O и радиусом R.
2. Сторона правильного двенадцатиугольника (a₁₂) является хордой, которая стягивает дугу, равную 1/12 части окружности.
3. Центральный угол, соответствующий одной стороне двенадцатиугольника, равен \( \alpha = 360°/12 = 30° \).
4. Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный двумя радиусами (R) и стороной двенадцатиугольника (a₁₂).
5. По теореме косинусов для этого треугольника: \( a_{12}^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(30°) \).
6. \( a_{12}^2 = 2R^2 - 2R^2 \cdot \cos(30°) \).
7. Известно, что \( \cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
8. \( a_{12}^2 = 2R^2 - 2R^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \).
9. \( a_{12}^2 = 2R^2 - R^2\sqrt{3} = R^2(2 - \sqrt{3}) \).
10. Извлекаем квадратный корень из обеих частей: \( a_{12} = \sqrt{R^2(2 - \sqrt{3})} = R\sqrt{2 - \sqrt{3}} \).
11. В условии задачи указана формула \( a_{12} = R\sqrt{2 - \sqrt{3}} \), которая была нами получена.

Доказано.