18. У правильного треугольника радиус вписанной окружности в 2 раза меньше радиуса описанной окружности. Докажите.

Решение:

Пусть дан правильный треугольник ABC, вписанный в окружность с центром O и радиусом R (описанная окружность). Пусть r — радиус вписанной окружности.

1. Центр описанной и вписанной окружностей в правильном треугольнике совпадают и являются точкой пересечения медиан (и биссектрис, и высот).
2. Пусть AO — радиус описанной окружности, R.
3. Пусть OK — перпендикуляр, опущенный из центра O на сторону BC. OK является радиусом вписанной окружности, r.
4. Точка K является серединой стороны BC.
5. AO является медианой, так как O — точка пересечения медиан.
6. Известно, что точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
7. Следовательно, AO : OK = 2 : 1.
8. Так как AO = R (радиус описанной окружности) и OK = r (радиус вписанной окружности), то R : r = 2 : 1.
9. Это означает, что R = 2r, или r = R/2.
10. Таким образом, радиус вписанной окружности (r) в 2 раза меньше радиуса описанной окружности (R).

Доказано.