20. В окружность радиусом 4 дм вписан правильный треугольник, на стороне которого построен квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата.

Решение:

1. Дан правильный треугольник ABC, вписанный в окружность радиусом R = 4 дм.
2. Сторона правильного вписанного треугольника вычисляется по формуле: \( a = R\sqrt{3} \).
3. \( a = 4\sqrt{3} \) дм.
4. На стороне этого треугольника построен квадрат. Пусть сторона квадрата равна s.
5. Тогда \( s = a = 4\sqrt{3} \) дм.
6. Теперь нам нужно найти радиус окружности, описанной около этого квадрата.
7. Диагональ квадрата равна \( d = s\sqrt{2} \).
8. \( d = (4\sqrt{3})\sqrt{2} = 4\sqrt{6} \) дм.
9. Диагональ квадрата является диаметром описанной около него окружности.
10. Радиус описанной окружности (r) равен половине диагонали: \( r = d/2 \).
11. \( r = \frac{4\sqrt{6}}{2} = 2\sqrt{6} \) дм.

Ответ: \( 2\sqrt{6} \) дм.