17. Про натуральные числа А, В и С известно, что каждое из них больше 4, но меньше 8. Загадали натуральное число, затем его умножили на А, потом прибавили к полученному произведению В и вычли С. Получилось 417. Какое число было загадано?

Числа А, В и С могут принимать значения 5, 6 или 7. Обозначим загаданное число через \(x\). Тогда \(Ax+B-C=417\), откуда \(x=(417-B+C)/A\).

Проверим возможные значения. При \(A=5\) числитель должен делиться на 5; это возможно при \((B,C)=(5,7),(6,6),(7,5)\), и во всех случаях \(x=83\). При \(A=6 или \(A=7\) подходящих значений нет.

Ответ: 83.