19. Список заданий викторины состоял из 36 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 5 очков, за неправильный ответ с него списывали 12 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 65 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

Пусть \(r\) — число правильных ответов, а \(w\) — число неправильных. Тогда \(5r-12w=65\), причём \(w\ge1\) и \(r+w\le36\).

По модулю 5 уравнение даёт \(w\equiv0\pmod 5\). При \(w=5\) получаем \(r=(65+12\cdot5)/5=25\). Следующее возможное значение, \(w=10\), потребовало бы \(r=37\), что невозможно при 36 вопросах.

Ответ: 25 верных ответов.