17. Решить однородное уравнение второй степени. \(\sin^2 x + 6 \cos^2 x + 7 \sin x \cos x = 0\)

Решение:

Это однородное уравнение второй степени. Разделим обе части уравнения на \(\cos^2 x\) (при условии, что \(\cos x
eq 0\)). Если \(\cos x = 0\), то \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\), и тогда \(\sin x = \pm 1\). Подставив это в исходное уравнение, получим \((\pm 1)^2 + 6(0)^2 + 7(\pm 1)(0) = 1
eq 0\). Значит, \(\cos x
eq 0\).

• \[ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{6 \cos^2 x}{\cos^2 x} + \frac{7 \sin x \cos x}{\cos^2 x} = 0 \]
• \[ \text{tg}^2 x + 6 + 7 \text{tg} x = 0 \]

Перепишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения:

• \[ \text{tg}^2 x + 7 \text{tg} x + 6 = 0 \]

Сделаем замену переменной: пусть \(y = \text{tg} x\). Тогда уравнение примет вид:

• \[ y^2 + 7y + 6 = 0 \]

Найдем дискриминант:

• \[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4(1)(6) = 49 - 24 = 25 \]

Найдем корни квадратного уравнения:

• \[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 5}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1 \]
• \[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 5}{2 \cdot 1} = \frac{-12}{2} = -6 \]

Теперь вернемся к замене \(y = \text{tg} x\):

1. \[ \text{tg} x = -1 \]
2. \[ \text{tg} x = -6 \]

Решим первое уравнение:

• \[ \text{tg} x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Решим второе уравнение:

• \[ \text{tg} x = -6 \implies x = \text{arctg}(-6) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Финальный ответ:

Ответ: \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad x = \text{arctg}(-6) + \pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z} \)