5. Привести уравнение к квадратному относительно одной из тригометрических функций и найти его корни. \(3 \text{tg} x = \text{ctg} x\)

Решение:

Запишем \(\text{ctg} x\) как \(\frac{1}{\text{tg} x}\):

• \[ 3 \text{tg} x = \frac{1}{\text{tg} x} \]

Умножим обе части на \(\text{tg} x\) (при условии, что \(\text{tg} x
eq 0\)):

• \[ 3 \text{tg}^2 x = 1 \]

Разделим на 3:

• \[ \text{tg}^2 x = \frac{1}{3} \]

Извлечем квадратный корень:

• \[ \text{tg} x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \]

Это приводит к двум случаям:

1. \[ \text{tg} x = \frac{1}{\sqrt{3}} \]
2. \[ \text{tg} x = -\frac{1}{\sqrt{3}} \]

Решения для первого случая:

• \[ x = \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Решения для второго случая:

• \[ x = -\frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Объединяя оба случая, получаем:

• \[ x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z} \]

Проверим условие \(\text{tg} x
eq 0\). В наших решениях \(\text{tg} x
eq 0\), поэтому все корни подходят.

Финальный ответ:

Ответ: \( x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)