8. Привести уравнение к квадратному относительно одной из тригометрических функций и найти его корни. \(2 \cos^2 x - 3 \sin x = 0\)

Решение:

Используем основное тригонометрическое тождество \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\). Подставим его в уравнение:

• \[ 2(1 - \sin^2 x) - 3 \sin x = 0 \]

Раскроем скобки и упростим:

• \[ 2 - 2 \sin^2 x - 3 \sin x = 0 \]
• \[ -2 \sin^2 x - 3 \sin x + 2 = 0 \]

Умножим на -1:

• \[ 2 \sin^2 x + 3 \sin x - 2 = 0 \]

Сделаем замену переменной: пусть \(y = \sin x\). Тогда уравнение примет вид:

• \[ 2y^2 + 3y - 2 = 0 \]

Найдем дискриминант:

• \[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25 \]

Найдем корни квадратного уравнения:

• \[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]
• \[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2 \]

Теперь вернемся к замене \(y = \sin x\):

1. \[ \sin x = \frac{1}{2} \]
2. \[ \sin x = -2 \]

Первое уравнение \(\sin x = \frac{1}{2}\) имеет решения:

• \[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad ext{и} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z} \]

Второе уравнение \(\sin x = -2\) не имеет решений, так как \(-1 \le \sin x \le 1\), а \(-2 < -1\).

Финальный ответ:

Ответ: \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z} \)