7. Привести уравнение к квадратному относительно одной из тригометрических функций и найти его корни. \(\sin^2 x + 2 \cos^2 x - 5 \cos x - 7 = 0\)

Решение:

Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\). Подставим его в уравнение:

• \[ (1 - \cos^2 x) + 2 \cos^2 x - 5 \cos x - 7 = 0 \]

Упростим уравнение:

• \[ 1 - \cos^2 x + 2 \cos^2 x - 5 \cos x - 7 = 0 \]
• \[ \cos^2 x - 5 \cos x - 6 = 0 \]

Сделаем замену переменной: пусть \(y = \cos x\). Тогда уравнение примет вид:

• \[ y^2 - 5y - 6 = 0 \]

Найдем дискриминант:

• \[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(1)(-6) = 25 + 24 = 49 \]

Найдем корни квадратного уравнения:

• \[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 7}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6 \]
• \[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 7}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Теперь вернемся к замене \(y = \cos x\):

1. \[ \cos x = 6 \]
2. \[ \cos x = -1 \]

Первое уравнение \(\cos x = 6\) не имеет решений, так как \(-1 \le \cos x \le 1\), а \(6 > 1\).

Решим второе уравнение:

• \[ \cos x = -1 \implies x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Финальный ответ:

Ответ: \( x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)