6. Привести уравнение к квадратному относительно одной из тригометрических функций и найти его корни. \(\text{tg}^2 x - 5 = 4 \text{tg} x\)

Решение:

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

• \[ \text{tg}^2 x - 4 \text{tg} x - 5 = 0 \]

Сделаем замену переменной: пусть \(y = \text{tg} x\). Тогда уравнение примет вид:

• \[ y^2 - 4y - 5 = 0 \]

Найдем дискриминант:

• \[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(-5) = 16 + 20 = 36 \]

Найдем корни квадратного уравнения:

• \[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 6}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5 \]
• \[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 6}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Теперь вернемся к замене \(y = \text{tg} x\):

1. \[ \text{tg} x = 5 \]
2. \[ \text{tg} x = -1 \]

Решим первое уравнение:

• \[ \text{tg} x = 5 \implies x = \text{arctg}(5) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Решим второе уравнение:

• \[ \text{tg} x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Финальный ответ:

Ответ: \( x = \text{arctg}(5) + \pi n, \quad x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z} \)