4. Привести уравнение к квадратному относительно одной из тригометрических функций и найти его корни. \(3 \cos^2 x + \cos x - 4 = 0\)

Решение:

Это квадратное уравнение относительно \(\cos x\). Сделаем замену переменной: пусть \(y = \cos x\). Тогда уравнение примет вид:

• \[ 3y^2 + y - 4 = 0 \]

Найдем дискриминант:

• \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(3)(-4) = 1 + 48 = 49 \]

Найдем корни квадратного уравнения:

• \[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1 \]
• \[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3} \]

Теперь вернемся к замене \(y = \cos x\):

1. \[ \cos x = 1 \]
2. \[ \cos x = -\frac{4}{3} \]

Решим первое уравнение:

• \[ \cos x = 1 \implies x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Второе уравнение \(\cos x = -\frac{4}{3}\) не имеет решений, так как \(-1 \le \cos x \le 1\), а \(-\frac{4}{3} < -1\).

Финальный ответ:

Ответ: \( x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)