17. Тест № 7034 Расположите числа \( \sqrt{2}-1, \sqrt{5}-\sqrt{2}, 2-\sqrt{3} \) в порядке возрастания.

Решение:

Для сравнения чисел, возведем их в квадрат:

• \( (\sqrt{2}-1)^2 = (\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = 2 - 2\sqrt{2} + 1 = 3 - 2\sqrt{2} \)
• \( (\sqrt{5}-\sqrt{2})^2 = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 5 - 2\sqrt{10} + 2 = 7 - 2\sqrt{10} \)
• \( (2-\sqrt{3})^2 = 2^2 - 2\cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3} \)

Теперь сравним числа под корнем:

• \( 2\sqrt{2} = \sqrt{8} \)
• \( 2\sqrt{10} = \sqrt{40} \)
• \( 4\sqrt{3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{48} \)

Сравним выражения:

• \( 3 - \sqrt{8} \)
• \( 7 - \sqrt{40} \)
• \( 7 - \sqrt{48} \)

Так как \( \sqrt{48} > \sqrt{40} \), то \( 7 - \sqrt{48} < 7 - \sqrt{40} \). Значит, \( 2-\sqrt{3} < \sqrt{5}-\sqrt{2} \).

Теперь сравним \( 3 - \sqrt{8} \) и \( 7 - \sqrt{40} \).

Приближенные значения:

• \( \sqrt{2} ≈ 1.414 \)
• \( \sqrt{2}-1 ≈ 1.414 - 1 = 0.414 \)
• \( \sqrt{5} ≈ 2.236 \)
• \( \sqrt{10} ≈ 3.162 \)
• \( \sqrt{5}-\sqrt{2} ≈ 2.236 - 1.414 = 0.822 \)
• \( \sqrt{3} ≈ 1.732 \)
• \( 2-\sqrt{3} ≈ 2 - 1.732 = 0.268 \)

Сравнивая приближенные значения:

• \( 0.268 < 0.414 < 0.822 \)

Значит, порядок возрастания:

• \( 2-\sqrt{3} < \sqrt{2}-1 < \sqrt{5}-\sqrt{2} \)

Ответ: \( 2-\sqrt{3}; \sqrt{2}-1; \sqrt{5}-\sqrt{2} \)