17. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) биссектриса угла A пересекает высоту BK в точке O, а сторону BC — в точке E. Найдите квадрат длины стороны AC, если BO : OK = 4 : 3 и EC = 6.

Так как AB = AC, биссектриса AE является также медианой, поэтому BE = EC = 6 и BC = 12.

Обозначим половину угла A через α. Из отношения BO : OK = 4 : 3 получаем, что OK составляет \(\frac{3}{7}\) высоты BK. Из геометрии треугольника:

\[\frac{\cos 2\alpha}{1+\cos 2\alpha}=\frac{3}{7},\qquad \cos 2\alpha=\frac34.\]

Тогда \(\sin\alpha=\frac12\), поэтому

\[BC=2AC\sin\alpha=AC.\]

Следовательно, \(AC=BC=12\), и

Ответ: \(AC^2=144\).