21. Через точку O пересечения медиан ΔABC (AB = BC) проведена прямая, параллельная AC и пересекающая стороны AB и BC в точках M и K соответственно. Найдите площадь S четырехугольника AMKC, если BO = 4, AC = 10. В ответ запишите значение произведения 3 · S.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Точка пересечения медиан делит медиану в отношении \(BO:OD=2:1\). Поэтому \(BD=6\).

Так как \(AB=BC\), медиана к основанию является также высотой. Значит, высота треугольника равна 6:

\[S_{ABC}=\frac12\cdot10\cdot6=30.\]

Треугольник \(BMK\) подобен треугольнику \(BAC\) с коэффициентом \(\frac{BO}{BD}=\frac23\). Поэтому

\[S_{BMK}=\left(\frac23\right)^2S_{ABC}=\frac49\cdot30=\frac{40}{3}.\]

Тогда

\[S=S_{ABC}-S_{BMK}=30-\frac{40}{3}=\frac{50}{3}.\]

Искомое произведение:

\[3S=50.\]

Ответ: 50.