23. Треугольник ABC равнобедренный, AB = BC = 1, ∠ABC = 36°. Биссектрисы AK и CM пересекаются в точке O. Найдите периметр треугольника AMO.

Углы при основании равны \(72^\circ\), поэтому в треугольнике AMC по теореме о биссектрисе:

\[\frac{AM}{MB}=\frac{AC}{CB}=AC.\]

Так как \(AC=2\sin18^\circ=\frac{\sqrt5-1}{2}\), получаем \(AM=\frac{1}{\varphi^2}\), где \(\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}\).

В треугольнике AMO углы при A и M равны по \(36^\circ\), поэтому \(AO=AM\). Кроме того, из теоремы синусов:

\[MO=\frac{AM\sin36^\circ}{\sin108^\circ}=\frac{AM}{\varphi}.\]

Следовательно,

\[P_{AMO}=AM+AO+MO=\frac{2}{\varphi^2}+\frac{1}{\varphi^3}=1.\]

Ответ: 1.