18. Точка O лежит на биссектрисе BH равнобедренного треугольника ΔABC (AB = BC) так, что BO : OH = 2 : 1. AO = 8. Найдите медиану CK ΔABC.

В равнобедренном треугольнике биссектриса BH является также медианой и высотой. Пусть \(H=(0,0)\), \(B=(0,h)\), \(A=(-x,0)\), \(C=(x,0)\).

Так как \(BO:OH=2:1\), точка O находится на высоте на расстоянии \(h/3\) от основания. Поэтому

\[AO^2=x^2+\frac{h^2}{9}=64.\]

Для медианы CK используем формулу:

\[CK^2=\frac{2AC^2+2BC^2-AB^2}{4}=\frac{9x^2+h^2}{4}.\]

Но \(9x^2+h^2=9\left(x^2+\frac{h^2}{9}\right)=9\cdot64=576\). Следовательно,

\[CK=\frac{\sqrt{576}}2=12.\]

Ответ: 12.