171. Отрезки AB и CD пересекаются в их общей середине O, точки M и N — середины отрезков AC и BD. Докажите, что точка O — середина отрезка MN.

Рассмотрим четырёхугольник ACBD. Его диагонали — AB и CD — пересекаются и делятся точкой O пополам. Значит, ACBD — параллелограмм.

В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, поэтому AC = BD и AC ∥ BD. Точки M и N — середины этих сторон, следовательно, отрезок, соединяющий середины параллельных сторон параллелограмма, параллелен его диагоналям и проходит через их точку пересечения. Кроме того, центральная симметрия с центром O переводит A в B, а C в D, значит, середина M отрезка AC переходит в середину N отрезка BD.

Следовательно, O — середина MN.

Ответ: O — середина отрезка MN.