177. На рисунке 102 AC = AD, AB ⟂ CD. Докажите, что BC = BD и ∠ACB = ∠ADB.

Пусть M — точка пересечения AB и CD. Так как AC = AD, точка A равноудалена от концов отрезка CD, поэтому лежит на его серединном перпендикуляре. Прямая AB перпендикулярна CD и проходит через A; следовательно, она и есть серединный перпендикуляр к CD. Значит, CM = MD.

Прямоугольные треугольники ACM и ADM равны по гипотенузе и катету. Аналогично, прямоугольные треугольники BCM и BDM равны по двум катетам: CM = DM, а BM — общая сторона. Поэтому BC = BD.

Из равенства треугольников ACM и ADM следует ∠ACM = ∠ADM, а из равенства BCM и BDM — ∠BCM = ∠BDM. Складывая равные углы, получаем ∠ACB = ∠ADB.

Ответ: BC = BD и ∠ACB = ∠ADB.