1844. Площадь прямоугольного треугольника равна 105. Один из его катетов на 1 больше другого. Найдите меньший катет.

Решение:

Пусть меньший катет равен \( x \). Тогда больший катет равен \( x + 1 \).

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: \( S = \frac{1}{2}ab \), где \( a \) и \( b \) — катеты.

\( \frac{1}{2} x(x+1) = 105 \)

\( x(x+1) = 210 \)

\( x^2 + x - 210 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-210) = 1 + 840 = 841 \). \( √{D} = 29 \).

\( x_1 = \frac{-1 + 29}{2} = \frac{28}{2} = 14 \)

\( x_2 = \frac{-1 - 29}{2} = \frac{-30}{2} = -15 \)

Так как длина катета не может быть отрицательной, меньший катет равен 14.

Ответ: 14.