19. (3 балла) Найдите промежутки монотонности функции \( f(x) = 2x^3 + 9x^2 - 24x \).

Решение:

Чтобы найти промежутки монотонности функции, необходимо найти её производную и определить знаки этой производной.

Найдем производную функции \( f(x) = 2x^3 + 9x^2 - 24x \):

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 + 9x^2 - 24x) \]\[ f'(x) = 2 \cdot 3x^2 + 9 \cdot 2x - 24 \]\[ f'(x) = 6x^2 + 18x - 24 \]

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

\[ 6x^2 + 18x - 24 = 0 \]

Разделим всё уравнение на 6:

\[ x^2 + 3x - 4 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25 \).

Корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]\[ x_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]

Критические точки: \( x = -4 \) и \( x = 1 \). Эти точки делят числовую ось на три интервала: \( (-\infty, -4) \), \( (-4, 1) \), \( (1, +\infty) \). Определим знак производной на каждом интервале:

• При \( x < -4 \), например, \( x = -5 \): \( f'(-5) = 6(-5)^2 + 18(-5) - 24 = 6(25) - 90 - 24 = 150 - 90 - 24 = 36 > 0 \). Функция возрастает.
• При \( -4 < x < 1 \), например, \( x = 0 \): \( f'(0) = 6(0)^2 + 18(0) - 24 = -24 < 0 \). Функция убывает.
• При \( x > 1 \), например, \( x = 2 \): \( f'(2) = 6(2)^2 + 18(2) - 24 = 6(4) + 36 - 24 = 24 + 36 - 24 = 36 > 0 \). Функция возрастает.

Ответ: Функция возрастает на интервалах \( (-\infty, -4] \) и \( [1, +\infty) \). Функция убывает на интервале \( [-4, 1] \).