21. (3 балла) Решите систему уравнений: \( \begin{cases} 6^{x+y} = 216, \\ 9^{x-y} = 81. \end{cases} \)

Решение:

Перепишем уравнения, представив числа как степени основания:

Первое уравнение: \( 216 = 6^3 \)

\[ 6^{x+y} = 6^3 \]

Отсюда следует:

\[ x+y = 3 \quad (1) \]

Второе уравнение: \( 81 = 9^2 \)

\[ 9^{x-y} = 9^2 \]

Отсюда следует:

\[ x-y = 2 \quad (2) \]

Теперь у нас есть система двух линейных уравнений:

\[ \begin{cases} x+y = 3 \\ x-y = 2 \end{cases} \]

Сложим уравнение (1) и уравнение (2):

\[ (x+y) + (x-y) = 3 + 2 \]\[ 2x = 5 \]\[ x = \frac{5}{2} = 2,5 \]

Подставим значение \( x \) в уравнение (1):

\[ 2,5 + y = 3 \]\[ y = 3 - 2,5 \]\[ y = 0,5 \]

Решение системы: \( x = 2,5 \), \( y = 0,5 \).

Ответ: \( x = 2,5; y = 0,5 \)