22. (3 балла) Найдите все решения уравнения \( 2 \cos^2 x - \cos x - 1 = 0 \), принадлежащие отрезку \( [0; 2\pi] \).

Решение:

Это квадратное уравнение относительно \( \cos x \). Введем замену: пусть \( t = \cos x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ 2t^2 - t - 1 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\[ D = (-1)^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9 \]

Найдем корни \( t_1 \) и \( t_2 \):

\[ t_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1 \]\[ t_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = \frac{-2}{4} = -0,5 \]

Теперь вернемся к замене \( t = \cos x \) и решим два уравнения:

1. \( \cos x = 1 \)

На отрезке \( [0; 2\pi] \) это уравнение имеет одно решение: \( x = 0 \) и \( x = 2\pi \) (так как \( 2\pi \) также входит в отрезок).

2. \( \cos x = -0,5 \)

На тригонометрическом круге косинус \( -0,5 \) соответствует углам \( \frac{2\pi}{3} \) и \( \frac{4\pi}{3} \).

Проверим, принадлежат ли эти решения отрезку \( [0; 2\pi] \):

• \( x = 0 \) — принадлежит отрезку.
• \( x = 2\pi \) — принадлежит отрезку.
• \( x = \frac{2\pi}{3} \) — принадлежит отрезку.
• \( x = \frac{4\pi}{3} \) — принадлежит отрезку.

Ответ: \( x = 0, x = \frac{2\pi}{3}, x = \frac{4\pi}{3}, x = 2\pi \)