19. Решите уравнение: \( x^{4} - 2x^{2} - 15 = 0 \)

Решение:

Данное уравнение является биквадратным. Сделаем замену переменной.

Пусть \( y = x^2 \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 - 2y - 15 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение относительно \( y \) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 \]

Найдем корни для \( y \):

\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]

\[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]

Теперь вернемся к замене \( y = x^2 \).

Случай 1: \( x^2 = y_1 \) = 5

\[ x^2 = 5 \]

\[ x = \pm \sqrt{5} \]

Случай 2: \( x^2 = y_2 \) = -3

\[ x^2 = -3 \]

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Ответ: \( x = \sqrt{5}, x = -\sqrt{5} \)