21. Высота АН ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 12 и CH = 3. Найдите высоту ромба.

Решение:

В ромбе ABCD высота AH опущена на сторону CD. Точка H лежит на стороне CD.

Длина стороны CD равна \( DH + CH = 12 + 3 = 15 \).

Так как ABCD — ромб, все его стороны равны. Значит, \( CD = AD = 15 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle AHD \).

В нем известны гипотенуза \( AD = 15 \) и катет \( DH = 12 \).

Найдем второй катет — высоту AH — по теореме Пифагора:

\[ AH^2 + DH^2 = AD^2 \]

\[ AH^2 + 12^2 = 15^2 \]

\[ AH^2 + 144 = 225 \]

\[ AH^2 = 225 - 144 \]

\[ AH^2 = 81 \]

\[ AH = \sqrt{81} \]

\[ AH = 9 \]

Высота ромба равна AH.

Ответ: 9