22. В треугольнике АВС углы А и С равны 30° и 50° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.

Решение:

Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle A = 30^{\circ} \), \( \angle C = 50^{\circ} \).

Найдем \( \angle B \) в \( \triangle ABC \):

\[ \angle B = 180^{\circ} - (\angle A + \angle C) = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 50^{\circ}) = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ} \]

BH — высота, значит, \( \angle BHA = 90^{\circ} \).

Рассмотрим прямоугольный \( \triangle ABH \). Найдем \( \angle ABH \):

\[ \angle ABH = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \]

BD — биссектриса \( \angle ABC \). Она делит \( \angle B \) на два равных угла:

\[ \angle ABD = \angle DBC = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{100^{\circ}}{2} = 50^{\circ} \]

Нам нужно найти угол между высотой BH и биссектрисой BD, то есть \( \angle HBD \).

\[ \angle HBD = \angle ABH - \angle ABD \]

\[ \angle HBD = 60^{\circ} - 50^{\circ} = 10^{\circ} \]

Ответ: 10°