20. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 176 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 1 час, а в пункт отправления теплоход возвращается через 20 часов после отплытия из него.

Решение:

Пусть \( v \) — собственная скорость теплохода (км/ч), \( u \) — скорость течения реки (км/ч).

Дано: \( v_u = 3 \text{ км/ч} \) (скорость течения).

Расстояние \( S = 176 \text{ км} \).

Общее время в пути \( T = 20 \text{ часов} \).

Время стоянки \( T_{стоянки} = 1 \text{ час} \).

Время движения теплохода: \( T_{движения} = T - T_{стоянки} = 20 - 1 = 19 \text{ часов} \).

Скорость теплохода по течению: \( v_{по} = v + u \).

Скорость теплохода против течения: \( v_{против} = v - u \).

Время движения по течению: \( t_{по} = \frac{S}{v_{по}} = \frac{176}{v + 3} \).

Время движения против течения: \( t_{против} = \frac{S}{v_{против}} = \frac{176}{v - 3} \).

Общее время движения: \( t_{по} + t_{против} = T_{движения} \).

\[ \frac{176}{v + 3} + \frac{176}{v - 3} = 19 \]

Приведем к общему знаменателю:

\[ 176(v - 3) + 176(v + 3) = 19(v + 3)(v - 3) \]

\[ 176v - 528 + 176v + 528 = 19(v^2 - 9) \]

\[ 352v = 19v^2 - 171 \]

Перенесем все в одну сторону:

\[ 19v^2 - 352v - 171 = 0 \]

Решим квадратное уравнение относительно \( v \) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-352)^2 - 4 \cdot 19 \cdot (-171) = 123904 + 12996 = 136900 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{136900} = 370 \]

Найдем корни для \( v \):

\[ v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{352 + 370}{2 \cdot 19} = \frac{722}{38} = 19 \]

\[ v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{352 - 370}{2 \cdot 19} = \frac{-18}{38} = -\frac{9}{19} \]

Скорость теплохода не может быть отрицательной, поэтому выбираем положительный корень.

Ответ: 19 км/ч