19. Решите уравнение \( x^4 = (x-6)^2 \).

Решение:

Перенесём всё в одну часть уравнения:

\[ x^4 - (x-6)^2 = 0 \]

Применим формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \), где \( a = x^2 \) и \( b = x-6 \):

\[ (x^2 - (x-6))(x^2 + (x-6)) = 0 \]

\[ (x^2 - x + 6)(x^2 + x - 6) = 0 \]

Получаем два квадратных уравнения:

1) \( x^2 - x + 6 = 0 \)

Дискриминант \( D_1 = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23 \). Так как \( D_1 < 0 \), это уравнение не имеет действительных корней.

2) \( x^2 + x - 6 = 0 \)

Дискриминант \( D_2 = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \).

Корни уравнения:

\[ x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 5}{2} \]

\[ x_1 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

\[ x_2 = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]

Ответ: 2; -3