2. (2 балла) Найдите наибольшее натуральное число, не превосходящее числа \( (1 + \sqrt{3})^2 + \sqrt{7} - 4\sqrt{3} \)

Решение:

Для начала упростим данное выражение:

1. Раскроем квадрат разности: \( (1 + \sqrt{3})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 1 + 2\sqrt{3} + 3 = 4 + 2\sqrt{3} \).
2. Теперь подставим это в исходное выражение: \( (4 + 2\sqrt{3}) + \sqrt{7} - 4\sqrt{3} \).
3. Приведем подобные слагаемые: \( 4 + (2\sqrt{3} - 4\sqrt{3}) + \sqrt{7} = 4 - 2\sqrt{3} + \sqrt{7} \).
4. Теперь оценим приближенное значение: \( \sqrt{3} \approx 1.732 \), \( \sqrt{7} \approx 2.646 \).
5. \( 4 - 2(1.732) + 2.646 = 4 - 3.464 + 2.646 = 0.536 + 2.646 = 3.182 \).
6. Наибольшее натуральное число, не превосходящее 3.182, это 3.

Ответ: 3