4. б) (2 балла) Решите уравнение: \( (x^2 - 1)^2 - 4|x^2 - 1| + 3 = 0 \)

Решение:

Решим уравнение \( (x^2 - 1)^2 - 4|x^2 - 1| + 3 = 0 \) с помощью замены переменной.

1. Пусть \( y = |x^2 - 1| \). Так как \( y \) — это модуль, то \( y \ge 0 \).
2. Тогда исходное уравнение примет вид: \( y^2 - 4y + 3 = 0 \).
3. Решим это квадратное уравнение относительно \( y \). Найдем дискриминант: \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \).
4. Найдем корни:
• \( y_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 2}{2} = 3 \).
• \( y_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 2}{2} = 1 \).
5. Оба значения \( y_1 = 3 \) и \( y_2 = 1 \) удовлетворяют условию \( y ≥ 0 \).
6. Теперь вернемся к замене \( y = |x^2 - 1| \):
• Случай 1: \( |x^2 - 1| = 3 \).
• \( x^2 - 1 = 3 \) \(\implies\) \( x^2 = 4 \) \(\implies\) \( x = 2 \) или \( x = -2 \).
• \( x^2 - 1 = -3 \) \(\implies\) \( x^2 = -2 \). Нет действительных решений.
• Случай 2: \( |x^2 - 1| = 1 \).
• \( x^2 - 1 = 1 \) \(\implies\) \( x^2 = 2 \) \(\implies\) \( x = \sqrt{2} \) или \( x = -\sqrt{2} \).
• \( x^2 - 1 = -1 \) \(\implies\) \( x^2 = 0 \) \(\implies\) \( x = 0 \).

Ответ: -2, 2, -√2, √2, 0