6. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение \( x^2 - (a+2)x + 2a = 0 \)

Решение:

Рассмотрим квадратное уравнение \( x^2 - (a+2)x + 2a = 0 \).

а) имеет ровно два корня?

Квадратное уравнение имеет ровно два корня, если его дискриминант больше нуля.

1. Найдем дискриминант: \( D = (-(a+2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2a \).
2. \( D = (a+2)^2 - 8a \).
3. \( D = a^2 + 4a + 4 - 8a \).
4. \( D = a^2 - 4a + 4 \).
5. \( D = (a-2)^2 \).
6. Условие \( D > 0 \) означает \( (a-2)^2 > 0 \).
7. Квадрат выражения больше нуля, если само выражение не равно нулю. То есть \( a-2
   e 0 \), что означает \( a
   e 2 \).

Ответ а): \( a \in R \), \( a
e 2 \).

б) имеет ровно два различных положительных корня?

Для того чтобы квадратное уравнение имело два различных положительных корня, должны выполняться три условия:

1. Дискриминант больше нуля: \( D > 0 \). Мы уже нашли, что \( D = (a-2)^2 \). Следовательно, \( (a-2)^2 > 0 \), что означает \( a
   e 2 \).
2. Сумма корней больше нуля: \( x_1 + x_2 > 0 \). По теореме Виета, \( x_1 + x_2 = -\frac{-(a+2)}{1} = a+2 \). Значит, \( a+2 > 0 \), что означает \( a > -2 \).
3. Произведение корней больше нуля: \( x_1 x x_2 > 0 \). По теореме Виета, \( x_1 x x_2 = \frac{2a}{1} = 2a \). Значит, \( 2a > 0 \), что означает \( a > 0 \).

Теперь объединим все условия:

• \( a
  e 2 \)
• \( a > -2 \)
• \( a > 0 \)

Объединяя \( a > -2 \) и \( a > 0 \), получаем \( a > 0 \).

Ответ б): \( a \in (0; 2) \cup (2; +∞) \).