8. На сторонах AB и CD прямоугольника ABCD взяты точки K и M так, что AKCM — ромб. Диагональ AC образует со стороной AB угол в 30°, AB = 6.

Решение:

Дан прямоугольник ABCD. Точки K и M взяты на сторонах AB и CD соответственно, так что AKCM — ромб. Диагональ AC образует с AB угол 30°, AB = 6.

а) (1 балл) Найдите сторону ВС.

В прямоугольном треугольнике ABC:

1. Угол BAC = 30°.
2. Сторона AB (прилежащий катет) = 6.
3. Нам нужно найти сторону BC (противолежащий катет).
4. Используем тангенс угла: \( \tan(∠ BAC) = \frac{BC}{AB} \).
5. \( \tan(30^\circ) = \frac{BC}{6} \).
6. \( \frac{1}{√3} = \frac{BC}{6} \).
7. \( BC = \frac{6}{√3} = \frac{6√3}{3} = 2√3 \).

Ответ а): \( 2√3 \)

б) (2 балла) Найдите сторону ромба АКСМ.

Так как AKCM — ромб, то все его стороны равны: AK = KC = CM = MA. Также, в ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей AC и KM как O.

1. В прямоугольном треугольнике ABC, BC = \( 2√3 \) и AB = 6.
2. В треугольнике AKC, AK = KC.
3. Рассмотрим треугольник AOB. Угол OAB = 30°. Угол ABO = 90° - 30° = 60°.
4. Так как AKCM — ромб, точка K лежит на AB, и AK — сторона ромба.
5. Рассмотрим прямоугольный треугольник AKO. Угол OAK = 30°.
6. В ромбе диагонали делятся пополам, значит AO = OC, KO = OM.
7. Из треугольника ABC, AC = \( √(AB^2 + BC^2) = √(6^2 + (2√3)^2) = √(36 + 12) = √48 = 4√3 \).
8. AO = \( \frac{AC}{2} = \frac{4√3}{2} = 2√3 \).
9. Теперь в прямоугольном треугольнике AKO, найдем AK (сторону ромба).
10. \( \tan(∠ OAK) = \frac{KO}{AO} \) и \( \tan(∠ AOK) = \frac{AK}{AO} \).
11. Угол AOK = 90°. В треугольнике AKO: \( \tan(30^\circ) = \frac{KO}{2√3} \), \( KO = 2√3 \tan(30^\circ) = 2√3 \frac{1}{√3} = 2 \).
12. \( \frac{AK}{AO} = \frac{1}{\tan(30^\circ)} = √3 \).
13. \( AK = AO √3 = 2√3 √3 = 2 · 3 = 6 \).
14. Другой способ: \( \frac{AK}{AO} = \frac{1}{\tan(30^\circ)} \) — это неправильно.
15. В прямоугольном треугольнике AKO, \( \frac{AO}{AK} = \tan(∠ AKO) \) и \( \frac{KO}{AK} = \tan(∠ KAO) \).
16. Используем \( \frac{KO}{AO} = \tan(30^\circ) \) — это неправильно.
17. В прямоугольном треугольнике AKO, \( \tan(30^\circ) = \frac{KO}{AO} \) — нет, угол KAO = 30°, AO = \( 2√3 \).
18. \( \tan(∠ KAO) = \frac{KO}{AO} \) — угол KAO = 30°.
19. \( \tan(30^\circ) = \frac{KO}{2√3} \). \( KO = 2√3 \tan(30^\circ) = 2√3 \frac{1}{√3} = 2 \).
20. \( AK^2 = AO^2 + KO^2 = (2√3)^2 + 2^2 = 12 + 4 = 16 \).
21. \( AK = √16 = 4 \).

Ответ б): 4