3. а) (2 балла) Найдите сумму всех натуральных трёхзначных чисел, делящихся на 7, расположенных между числами 153 и 776.

Решение:

Нам нужно найти сумму трёхзначных чисел, делящихся на 7, находящихся между 153 и 776.

1. Определим первое трёхзначное число, делящееся на 7, которое больше 153. Разделим 153 на 7: \( 153 \div 7 = 21 \) с остатком 6. Значит, следующее число, делящееся на 7, будет \( 153 - 6 + 7 = 154 \). \( 154 = 7 \cdot 22 \).
2. Определим последнее трёхзначное число, делящееся на 7, которое меньше 776. Разделим 776 на 7: \( 776 \div 7 = 110 \) с остатком 6. Значит, последнее число, делящееся на 7, будет \( 776 - 6 = 770 \). \( 770 = 7 \cdot 110 \).
3. Теперь у нас есть арифметическая прогрессия: 154, 161, ..., 770.
4. Найдем количество членов этой прогрессии по формуле \( a_n = a_1 + d(n-1) \), где \( a_n = 770 \), \( a_1 = 154 \), \( d = 7 \).
5. \( 770 = 154 + 7(n-1) \)
6. \( 770 - 154 = 7(n-1) \)
7. \( 616 = 7(n-1) \)
8. \( n-1 = \frac{616}{7} = 88 \)
9. \( n = 88 + 1 = 89 \).
10. Теперь найдём сумму всех членов прогрессии по формуле \( S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2} \).
11. \( S_{89} = \frac{(154 + 770) \cdot 89}{2} = \frac{924 \cdot 89}{2} = 462 \cdot 89 = 41118 \).

Ответ: 41118