2.5. \(\cos^2 x + 3 \sin x - 3 = 0\)

Решение:

1. Используем основное тригонометрическое тождество \( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \), откуда \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \).
2. Подставим в уравнение: \( (1 - \sin^2 x) + 3 \sin x - 3 = 0 \).
3. Упростим: \( 1 - \sin^2 x + 3 \sin x - 3 = 0 \), \( -\sin^2 x + 3 \sin x - 2 = 0 \).
4. Умножим на \( -1 \): \( \sin^2 x - 3 \sin x + 2 = 0 \).
5. Сделаем замену \( t = \sin x \), получим квадратное уравнение: \( t^2 - 3t + 2 = 0 \).
6. Решим квадратное уравнение: \( t_1 = 1 \), \( t_2 = 2 \).
7. Вернёмся к замене:
• \( \sin x = 1 \) ⇒ \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
• \( \sin x = 2 \) — решений нет, так как \( -1 \le \sin x \le 1 \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), \( k \in \mathbb{Z} \).