2. Один из углов равнобедренной трапеции равен 100°. Три оставшихся угла равны: a) 80°, 80°, 100°; б) 75°, 75°, 110°; в) 70°, 70°, 120°.

Задание 2. Углы равнобедренной трапеции

Решение:

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Также, сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180°.

Если один из углов при одном основании равен 100°, то угол при другом основании этого же основания будет также 100°. Тогда два других угла (при другом основании) будут:

\[ 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \]

Таким образом, углы трапеции: 100°, 100°, 80°, 80°.

Если же 100° — это угол при верхнем (меньшем) основании, то углы при нижнем основании будут:

\[ 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \]

Но в этом случае углы будут 100°, 100°, 80°, 80°. Если же 100° — это угол при одном из оснований, то второй угол при том же основании равен 100°. Углы при другом основании будут равны:

\[ 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \]

Это означает, что углы трапеции: 100°, 80°, 80°, 100°. Рассматриваем вариант, где один из углов тупой (100°).

Если один из углов равен 100°, то он может быть углом при основании. Так как трапеция равнобедренная, то противоположный угол при этом же основании тоже 100°. Сумма углов при боковой стороне равна 180°. Значит, углы при другом основании будут:

\[ 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \]

То есть углы: 100°, 80°, 80°, 100°.

Если же 100° — это угол при верхнем основании, то углы при нижнем основании будут 80°. Но тогда это не равнобедренная трапеция, так как углы при основании не равны.

Давайте рассмотрим вариант, когда 100° - угол при нижнем основании. Тогда другой угол при нижнем основании тоже 100°. Углы при верхнем основании будут:

\[ 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \]

В этом случае углы: 100°, 100°, 80°, 80°. В предложенных вариантах нет такого сочетания.

Рассмотрим вариант, когда 100° - угол при верхнем основании. Тогда другой угол при верхнем основании тоже 100°. Углы при нижнем основании будут:

\[ 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \]

Это также не подходит.

Пересмотрим условие: «Один из углов равнобедренной трапеции равен 100°». Пусть это угол при одном из оснований. Так как трапеция равнобедренная, то углы при том же основании равны. Следовательно, если один угол 100°, то и второй при этом основании 100°. Сумма углов при боковой стороне равна 180°. Значит, углы при другом основании будут:

\[ 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \]

Итак, углы трапеции: 100°, 100°, 80°, 80°.

Теперь рассмотрим вариант, где 100° — это угол при другом основании. Тогда углы при основании будут 100° и 100°. Углы при другом основании будут 80° и 80°.

В варианте а) 80°, 80°, 100° не хватает одного угла, чтобы было четыре. Вариант б) 75°, 75°, 110°. Если углы при основании 110°, то при другом 70°. Не подходит. Вариант в) 70°, 70°, 120°. Если углы при основании 120°, то при другом 60°. Не подходит.

Вернемся к правилу: сумма углов при боковой стороне равна 180°.

Если один угол 100°, то второй угол, смежный с ним по боковой стороне, равен \( 180^ - 100^ = 80^ \). Так как трапеция равнобедренная, то углы при основании равны. Значит, у нас могут быть углы:

1) 100°, 100°, 80°, 80°. (Два угла по 100° при одном основании, два по 80° при другом).

2) 100°, 80°, 80°, 100°. (Два угла по 100° при одном основании, два по 80° при другом).

Ни один из предложенных вариантов не совпадает точно. Однако, если предположить, что 100° — это один из углов, то:

Если 100° — угол при основании, то другой угол при этом основании тоже 100°. Два других угла будут по \( 180^ - 100^ = 80^ \). Углы: 100°, 100°, 80°, 80°.

Если 100° — угол при боковой стороне, то смежные углы при основании будут \( 180^ - 100^ = 80^ \). Тогда углы при другом основании тоже \( 180^ - 80^ = 100^ \). Углы: 80°, 80°, 100°, 100°.

Видим, что в любом случае набор углов будет 100°, 100°, 80°, 80°.

Проверим вариант в) 70°, 70°, 120°. Если углы при основании 70°, то углы при другом основании \( 180^ - 70^ = 110^ \). Это не подходит.

Проверим вариант б) 75°, 75°, 110°. Если углы при основании 75°, то углы при другом основании \( 180^ - 75^ = 105^ \). Это не подходит.

Проверим вариант а) 80°, 80°, 100°. Если углы при основании 80°, то углы при другом основании \( 180^ - 80^ = 100^ \). Это подходит! Углы трапеции: 80°, 80°, 100°, 100°.

Ответ: а) 80°, 80°, 100°. (при условии, что это два угла при одном основании и один при другом, а четвертый угол будет 100°).