4. Сторона ромба равна 5 см, а одна из его диагоналей 6 см. Площадь ромба равна: а) 30 см²; б) 24 см²; в) 15 см².

Задание 4. Площадь ромба

Решение:

Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам и перпендикулярны друг другу. Обозначим сторону ромба как \( a \), диагонали как \( d_1 \) и \( d_2 \).

У нас есть:

• \( a = 5 \) см.
• \( d_1 = 6 \) см.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Это значит, что мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. Пусть \( \frac{d_1}{2} \) и \( \frac{d_2}{2} \) — катеты этого треугольника, а \( a \) — гипотенуза.

\( \frac{d_1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) см.

По теореме Пифагора:

\[ a^2 = \left( \frac{d_1}{2} \right)^2 +
left( \frac{d_2}{2}
right)^2 \]

\[ 5^2 = 3^2 +
left( \frac{d_2}{2}
right)^2 \]

\[ 25 = 9 +
left( \frac{d_2}{2}
right)^2 \]

\[
left( \frac{d_2}{2}
right)^2 = 25 - 9 = 16 \]

\[ \frac{d_2}{2} = \sqrt{16} = 4 \] см.

Тогда вторая диагональ \( d_2 = 2
\cdot 4 = 8 \) см.

Площадь ромба вычисляется по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \]

Подставляем значения:

\[ S = \frac{1}{2}
\cdot 6
\cdot 8 = \frac{1}{2}
\cdot 48 = 24 \] см².

Ответ: б) 24 см².