2. Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 8. Найдите длину стороны этого треугольника.

Краткая запись:

• Равносторонний треугольник
• Вписанная окружность, r = 8
• Найти: сторону треугольника (a)

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: В равностороннем треугольнике центр вписанной окружности совпадает с центром описанной окружности и точкой пересечения медиан (и высот, и биссектрис).
2. Шаг 2: Радиус вписанной окружности (r) равен 1/3 высоты (h). Формула: \( r = \frac{1}{3}h \).
3. Шаг 3: Находим высоту (h), зная радиус: \( h = 3r \). \( h = 3 \times 8 = 24 \).
4. Шаг 4: Высота равностороннего треугольника также связана со стороной (a) формулой: \( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \).
5. Шаг 5: Вычисляем сторону (a), используя найденную высоту: \( 24 = \frac{a\sqrt{3}}{2} \). \( a = \frac{24 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{48}{\sqrt{3}} \).
6. Шаг 6: Избавляемся от иррациональности в знаменателе: \( a = \frac{48\sqrt{3}}{3} = 16\sqrt{3} \).

Ответ: 16\sqrt{3}