3. Диагональ АС ромба АВСД равна 48, a tg BCA = 7/24. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Краткая запись:

• Ромб ABCD
• AC = 48
• tg ∠BCA = 7/24
• Найти: радиус вписанной окружности (r)

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Диагонали ромба пересекаются в точке O. Точка O делит диагональ AC пополам: AO = OC = 48 / 2 = 24.
2. Шаг 2: Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому треугольник BOC — прямоугольный (∠BOC = 90°).
3. Шаг 3: В прямоугольном треугольнике BOC, tg ∠BCA = BO / OC. Нам известно, что tg ∠BCA = 7/24 и OC = 24.
4. Шаг 4: Находим длину катета BO: BO / 24 = 7/24. Отсюда BO = 7.
5. Шаг 5: Находим длину стороны ромба BC (гипотенузу треугольника BOC) по теореме Пифагора: BC² = BO² + OC² = 7² + 24² = 49 + 576 = 625. BC = √625 = 25.
6. Шаг 6: Площадь ромба можно найти двумя способами: S = (AC * BD) / 2 и S = a * h, где a — сторона ромба, h — высота.
7. Шаг 7: Находим длину второй диагонали BD: BD = 2 * BO = 2 * 7 = 14.
8. Шаг 8: Вычисляем площадь ромба: S = (48 * 14) / 2 = 24 * 14 = 336.
9. Шаг 9: Находим высоту ромба (h) через площадь: S = BC * h => 336 = 25 * h => h = 336 / 25 = 13.44.
10. Шаг 10: Радиус вписанной окружности (r) равен половине высоты ромба: r = h / 2 = 13.44 / 2 = 6.72.

Ответ: 6.72