2. Теорема о смежных и вертикальных углах (с доказательством).

Теорема о смежных углах: Сумма двух смежных углов равна 180°.

Доказательство:

1. Пусть углы $$\angle$$ AOB и $$\angle$$ BOC — смежные.
2. Их общая сторона OB, а стороны OA и OC лежат на одной прямой AC.
3. Угол AOC — развернутый, его градусная мера равна 180°.
4. Угол AOC состоит из углов AOB и BOC: $$\angle$$ AOC = $$\angle$$ AOB + $$\angle$$ BOC.
5. Следовательно, $$\angle$$ AOB + $$\angle$$ BOC = 180°.

Теорема о вертикальных углах: Вертикальные углы равны.

Доказательство:

1. Пусть углы $$\angle$$ 1 и $$\angle$$ 3 — вертикальные, а $$\angle$$ 2 — смежный с ними.
2. Углы $$\angle$$ 1 и $$\angle$$ 2 — смежные, значит, $$\angle$$ 1 + $$\angle$$ 2 = 180°.
3. Углы $$\angle$$ 2 и $$\angle$$ 3 — смежные, значит, $$\angle$$ 2 + $$\angle$$ 3 = 180°.
4. Из равенств следует: $$\angle$$ 1 + $$\angle$$ 2 = $$\angle$$ 2 + $$\angle$$ 3.
5. Вычитая $$\angle$$ 2 из обеих частей, получаем: $$\angle$$ 1 = $$\angle$$ 3.