2. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и $$\angle ACD = 47^$$. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Задание 2. Параллелограмм ABCD

Дано:

• Параллелограмм ABCD
• $$AC = 2 \cdot AB$$
• $$\angle ACD = 47^$$

Найти: меньший угол между диагоналями (AC и BD).

Решение:

1. В параллелограмме противоположные стороны равны: $$AB = CD$$ и $$BC = AD$$.
2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Пусть O — точка пересечения диагоналей AC и BD. Тогда $$AO = OC = \frac{1}{2} AC$$ и $$BO = OD = \frac{1}{2} BD$$.
3. Из условия $$AC = 2 \cdot AB$$, следовательно, $$OC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} (2 \cdot AB) = AB$$.
4. Рассмотрим треугольник $$\triangle OCD$$. У нас есть $$OC = AB$$ и $$CD = AB$$. Это означает, что $$\triangle OCD$$ — равнобедренный треугольник с $$OC = CD$$.
5. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В $$\triangle OCD$$, $$OC=CD$$, значит $$\angle COD = \angle ODC$$.
6. Нам дано $$\angle ACD = 47^$$. В параллелограмме углы при параллельных прямых и секущей связаны. \( AC \) — секущая для параллельных прямых $$AB$$ и $$CD$$. Следовательно, $$\angle BAC = \angle ACD = 47^$$.
7. Так как $$\triangle OCD$$ — равнобедренный ($$OC = CD$$), то $$\angle ODC = \angle OCD$$.
8. Мы знаем $$\angle ACD = 47^$$. Но это не $$\angle OCD$$.
9. Вернемся к $$\triangle OCD$$. Мы установили, что $$OC = AB$$ и $$CD = AB$$. Значит, $$OC = CD$$.
10. В $$\triangle OCD$$, $$\angle OCD = \angle ODC$$.
11. Мы знаем, что $$\angle ACD = 47^$$.
12. Рассмотрим $$\triangle ABC$$. $$AB = AC/2$$. По теореме синусов: $$\frac{AB}{\sin(\angle ACB)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)}$$.
13. $$\frac{AB}{\sin(\angle ACB)} = \frac{2 \cdot AB}{\sin(\angle ABC)}$$. \(\sin(\angle ABC) = 2 \sin(\angle ACB)\).
14. В $$\triangle OCD$$, $$OC = AB$$ и $$CD = AB$$, следовательно $$OC = CD$$. Треугольник $$\triangle OCD$$ равнобедренный.
15. Угол $$\angle ODC$$ — это тот же угол, что и $$\angle BDC$$.
16. В $$\triangle BCD$$, $$CD = AB$$. $$AC$$ и $$BD$$ — диагонали.
17. Из $$AC = 2AB$$, следует $$OC = AB$$. В $$\triangle OCD$$, $$OC = CD$$. Следовательно, $$\triangle OCD$$ равнобедренный.
18. Угол $$\angle OCD$$ равен $$\angle ACD$$, то есть $$47^$$.
19. В равнобедренном $$\triangle OCD$$, если $$\angle OCD = 47^$$, то и $$\angle ODC = 47^$$.
20. Сумма углов в $$\triangle OCD$$: $$\angle COD + \angle OCD + \angle ODC = 180^$$.
21. $$\angle COD + 47^ + 47^ = 180^$$.
22. $$\angle COD + 94^ = 180^$$.
23. $$\angle COD = 180^ - 94^ = 86^$$.
24. Угол $$\angle COD$$ — это один из углов между диагоналями. Другой угол — смежный с ним, то есть $$180^ - 86^ = 94^$$.
25. Меньший угол между диагоналями равен $$86^$$.

Ответ: 86